Mathematik

Was ist Mathematik?

Obwohl die Griechen nicht die ersten waren, die sich mit Mathematik beschäftigten (dies taten schon die Babylonier und Ägypter vor ihnen), so stammt das Wort „Mathematik“ aus dem Griechischen und bedeutet so viel wie „die Kunst des Lernens“. Historisch entwickelte sie sich aus der Arithmetik und Geometrie des alten Griechenlands und ist eine sehr alte Wissenschaft. Mathematik ist die Wissenschaft, die sich mit Zahlen, Mustern, Strukturen, Raum und Veränderung befasst; und eine Formalwissenschaft, die sich mit dem Erkennen, Beschreiben und Begründen von Mustern und Strukturen in der Welt befasst und dafür logische Methoden und eigene abstrakte Systeme nutzt. Die Mathematik hat sich vor allem dadurch sehr entwickelt, dass man oft versucht hat, mathematische Probleme zu lösen. Sie beschäftigt sich mit Zahlen, Formen, Gleichungen und deren Beziehungen und bietet eine unersetzliche Grundlage für alle anderen Wissenschaften, indem sie quantitative Beziehungen und logische Erklärungen liefert.

Grundlegende Teilgebiete

• Arithmetik (kann man übersetzen mit: Rechnen mit Zahlen) und Zahlentheorie beschäftigen sich mit den Eigenschaften von Zahlen.
• Algebra untersucht allgemeine Strukturen von Zahlen und Gleichungen und befasst sich mit den vier Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) und ihren Abstraktionen.
• Analysis ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit dem Studium von Funktionen und Grenzwerten beschäftigt. Sie umfasst im Wesentlichen die Differentialrechnung, bei der Ableitungen zur Untersuchung von Funktionsveränderungen dienen, und die Integralrechnung, die sich mit Voluminaberechnungen und Summen befasst. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt eine Verbindung zwischen diesen beiden Bereichen her. Es wird nämlich gezeigt, dass die Ableitung und die Integration Umkehrungen voneinander sind.
• Geometrie ist die Lehre von Figuren, Formen, Größen und Eigenschaften von Räumen.
• Stochastik umfasst Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik und analysiert Zufälligkeit und Daten.

Weitere wichtige Teilgebiete sind:

• Mathematische Logik ist ein sehr wichtiges und grundlegendes Teilgebiet, welches sich mit den Prinzipien des mathematischen Denkens und der Beweisführung beschäftigt.
• Numerische Mathematik entwickelt und analysiert Algorithmen zur Näherung von Lösungen, oft für Probleme, die analytisch nicht exakt lösbar sind.
• Topologie ist ein Teilgebiet der Geometrie, das sich mit den Eigenschaften von Formen beschäftigt, die unter stetigen Verformungen erhalten bleiben.

Kernbereiche und Aufgaben

• Mustererkennung und Strukturwissenschaft: Das Hauptziel der Mathematik ist das Finden und Beweisen von Mustern und Strukturen in allen Bereichen.
• Abstrakte Systeme: Die Mathematik erschafft eigene, abstrakte Systeme und untersucht deren Eigenschaften mit logischen Mitteln.
• Wichtige Teilgebiete: Dazu gehören die Arithmetik (Zahlenlehre), die Geometrie (Formen und Räume), die Algebra und die Analysis.

Bedeutung in anderen Wissenschaften

• Quantifizierung: In vielen Wissenschaften ist die Mathematik unerlässlich, um quantitative Beziehungen und Abhängigkeiten zu beschreiben und zu berechnen.
• Anwendungen: Ingenieure nutzen sie für den Bau, Biologen zur Berechnung von Populationen und Astronomen für die Bewegung von Himmelskörpern.

Abgrenzung und Wahrnehmung

• Mehr als Rechnen: Mathematik ist nicht nur das Hantieren mit Zahlen, sondern auch kreatives Denken und die Anwendung logischer Prinzipien.
• Grundlage für Fortschritt: Sie bildet eine produktive Grundlage für so ziemlich alle modernen Schlüsseltechnologien und ist ein wesentlicher Teil unserer Kultur.

Schriften

Mathematik

- Die revolutionären Gödel'schen Unvollständigkeitssätze

- Ein elementarer Beweis des Primzahlsatzes

- Die Grundideen der Galoistheorie

Physik

- Etwas über die Wärmeleitungsgleichung

- Die Navier-Stokes-Gleichungen

- Die Bumerang-Wurfbahn

Die folgenden Artikel habe ich auf Matroid's Matheplanet in meiner Schulzeit geschrieben.

- Schiefer Wurf mit Luftwiderstand

- Ziolkowskij's Raketengleichung

Die folgende Schrift habe ich mit Latex verfasst und damit Sätze aus der Mathematik zitiert und zum Teil auch selber bewiesen, die man als wichtig und schön empfindet. Daher hebe ich diese pdf-Datei besonders hervor. Viel Spaß damit!

Im Folgenden biete ich eine weitere pdf-Datei an, in der ich Aufgaben, die ich für sehr wertvoll gehalten habe, selber löse. Man kann hier also ein bisschen sehen, was ich eigenständig als Mathematiker so zu Tage bringe. Kreativität ist beim Lösen von Aufgaben eine wichtige Sache.

Ich möchte hier einige Lösungen von ein paar schönen Logikrätseln veröffentlichen, die ich mit der Zeit so zusammengesammelt habe. Eine Hälfte löse ich dabei selber und mit der anderen Hälfte möchte ich hier gerne Musterlösungen präsentieren.

An dieser Stelle möchte ich eine große Sammlung von mathematischen Textaufgaben, die meistens relativ intelligent sind, zum Selberlösen ans Herz legen. Zur Kontrolle habe ich für Sie die Lösungen aller Aufgaben mit beigefügt.

Vorlesungsskripte

Tolle mathematische Themen

Schönste Formeln

Kreiszahl

Mathematical structures

Schöne Formelnkritzelei

Mathematik-Zitate

1) René Descartes

„Von allen, die bis jetzt nach Wahrheit forschten, haben die Mathematiker allein eine Anzahl Beweise finden können, woraus folgt, dass ihr Gegenstand der allerleichteste gewesen sein müsse.“

2) Carl Friedrich Gauß:

„Es ist nicht das Wissen, sondern das Lernen, nicht das Besitzen, sondern das Erwerben, nicht das Dasein, sondern das Hinkommen, was den größten Genuß gewährt.“

3) Albert Einstein:

„Der Wissenschaftler findet seine Belohnung in dem, was Poincaré die Freude am Verstehen nennt, nicht in den Anwendungsmöglichkeiten seiner Erfindung.“

4) David Hilbert:

„Da ist das Problem, suche die Lösung. Du kannst sie durch reines Denken finden; denn in der Mathematik gibt es kein Ignorabimus.“

5) Jean-Baptiste le Rond d'Alembert:

„Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf, zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.“

Links zur Mathematik

- Mathematische Fachgebiete in einer Matrix

- Spektrum der Wissenschaft: Mathematik

- Mathematik-Seiten von Arndt Brünner

- Liste bedeutender Mathematiker

- Mathematik bei Wikipedia